Kovaa asiaa: kuinka kauas sihteerin pöytä radioaktiivisesta lähteestä?

Tämä tehtävä kuului Säteilyn käyttö ja turvallisuus -kurssin tenttiin 27.4.2020, ja käyn sen nyt läpi tässä.

Annosnopeus 1 metrin päässä umpilähteitä sisältävästä kassakaapista on 0,014 mSv/h. Kuinka kaukana toimistotyöntekijän (väestöön kuuluva) työpisteen täytyy olla kassakaapista, ettei tästä säteilystä aiheutuva vuosittainen annosraja ylittyisi? Turvallisuusarviossa on määritetty laboratorion säteilyaltistumisen luokaksi 3 ja työntekijän vuosittainen työaika on määritetty olevan 1800 tuntia.

Aloitetaan kirjaamalla kaikki annetut tiedot:

$t$ = 1800 h
Luokan 3 väestöön kuuluvan henkilön maksimiannos vuodessa: ≤ 0,1 mSv (lähde)
Etäisyys $R_1$ = 1 m
Etäisyydellä $R_1$ annosnopeus $\dot{D}_1$ = 0,014 mSv/h


Lähdetään liikkeelle laskemalla, mikä henkilön saama maksimiannosnopeus $\dot{D}_2$ on, kun raja-arvona on vuodessa maksimissaan 0,1 mSv:

$\dot{D}_2 = \frac{\textrm{0,1 mSv/a}}{\textrm{1800 h/a}} = \textrm{5,}\overline{5}*10^{-5}\textrm{ mSv/h}$

Säteilyn intensiteetti on kääntäen neliöllisesti verrannollinen etäisyyteen R. Tässä radionuklidi pysyy vakiona, ja laskuissa voidaan olettaa aktiivisuuden pysyvän myös vakiona (päätetään sen olevan jokin hurjan ison puoliintumisajan omaava lähde). Annosnopeuden suhde on verrannollinen säteilyn intensiteettiin, joten laskutoimitus tehdään käyttäen verrannollisuuskaavaa

$\frac{\dot{D}_1}{\dot{D}_2}=\frac{R^2_1}{R^2_2}\Leftrightarrow R_2 = \sqrt{\frac{R^2_1*\dot{D}_1}{\dot{D}_2}}$.

$R_2 = \sqrt{\frac{(1\textrm{ m})^2*0,014\textrm{ mSv/h}}{\textrm{5,}\overline{5}*10^{-5}\textrm{ mSv/h}}} \approx 15,8745 \textrm{ m}$

Nyt täytyy olla tarkkana ja huomata, että lähtötiedoissa on alimmillaan 1 merkitsevä numero (1 m ja 0,1 mSv), joten tulos täytyy pyöristää yhden merkitsevän numeron tarkkuudelle, ja tällaisissa säteilylaskuissa tulos pyöristetään myös aina automaattisesti ylöspäin, jotta annettu annos ei ylittyisi. Tulos on siis ≥ 20 m.

Kovaa asiaa: hapetus-pelkistysreaktion tasapainottaminen (hapan liuos)

Edellisessä osassa käsittelin neutraalissa liuoksessa tapahtuvan reaktion tasapainottamista, ja tässä pureudun nyt hieman monimutkaisempaan tapaukseen eli tasapainotukseen happamassa liuoksessa.

Otetaan reaktio

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + HNO_2 (aq) \longrightarrow Cr^{3+} (aq) + NO_3^- (aq)$

joka tasapainotetaan. Selvitetään atomien hapetusluvut ja kirjataan ylös osareaktiot.

$\stackrel{\text{+6}}{Cr}_2\stackrel{\text{-2}}{O}_7 (aq) + \stackrel{\text{+1}}{H}\stackrel{\text{+3}}{N}\stackrel{\text{-2}}{O}_2 (aq) \longrightarrow \stackrel{\text{+3}}{Cr} (aq) + \stackrel{\text{+5}}{N}\stackrel{\text{-2}}{O}_3 (aq)$

Osareaktio 1:

$\stackrel{\text{+6}}{Cr}_2\stackrel{\text{-2}}{O}_7 (aq) \longrightarrow \stackrel{\text{3+}}{Cr} (aq)$

Kromin varaus muuttuu +5:stä +3:een eli se vastaanottaa kolme elektronia eli pelkistyy.

Osareaktio 2:

$\stackrel{\text{+1}}{H}\stackrel{\text{+3}}{N}\stackrel{\text{-2}}{O}_2 (aq)  \longrightarrow \stackrel{\text{+5}}{N}\stackrel{\text{-2}}{O}_3 (aq)$

Typen varaus muuttuu +3:sta +5:ksi eli se luovuttaa kaksi elektronia, siis hapettuu.

Nyt hapettuva ja pelkistyvä atomi ovat selvillä, joten tasapainotus voidaan aloittaa. Tasapainotetaan kaikki muut paitsi O ja H, eli tässä tapauksessa vain osareaktion 1 kromi (osareaktiossa 2 typen määrät ovat jo tasapainossa):

$Cr_2O_7^{2-} (aq) \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) $

Tasapainotetaan happi lisäämällä $H_2O$, nyt kumpaankin osareaktioon.

$Cr_2O_7^{2-} (aq) \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) $

$HNO_2 (aq)  + H_2O (l) \longrightarrow NO_3^- (aq) $

Tasapainotetaan vedyt lisäämällä $H^+$.

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 14 H^+ (aq) \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) $

$HNO_2 (aq)  + H_2O (l) \longrightarrow NO_3^- (aq) + 3 H^+ (aq)$

Seuraavaksi tasapainotetaan elektronit. Voimme huomata, että ensimmäisessä osareaktiossa siirtyy kolme elektronia yhtä kromia kohti, joten kahta kromia kohti siirtyy siis kuusi elektronia. Osareaktion vasemmalle puolelle tulee siis kuusi elektronia:

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 14 H^+ (aq) + 6 e^- \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) $

Kakkososareaktion kohdalla elektroneja siirtyy kaksi ja ne tulevat vasemmalle puolelle:

$HNO_2 (aq)  + H_2O (l) \longrightarrow NO_3^- (aq) + 3 H^+ (aq) + 2 e^-$

Nyt osareaktiot näyttävät tältä:

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 14 H^+ (aq) + 6 e^- \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) $

$HNO_2 (aq)  + H_2O (l) \longrightarrow NO_3^- (aq) + 3 H^+ (aq) + 2 e^-$

Näihin pitäisi saada nyt vielä sama määrä elektroneja, joten osareaktio 2 pitää kertoa kolmella, jotta elektroneja saadaan kuusi, kuten osareaktiossa 1.

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 14 H^+ (aq) + 6 e^- \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) $

$3 * [HNO_2 (aq)  + H_2O (l) \longrightarrow NO_3^- (aq) + 3 H^+ (aq) + 2 e^-]$

Tästä saadaan:

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 14 H^+ (aq) + 6 e^- \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) $

$3 HNO_2 (aq)  + 3 H_2O (l) \longrightarrow 3 NO_3^- (aq) + 9 H^+ (aq) + 6 e^-$

Yhdistetään reaktiot:

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 14 H^+ (aq) + 6 e^- + 3 HNO_2 (aq)  + 3 H_2O (l) \longrightarrow$

$2 Cr^{3+} (aq) + 7 H_2O (l) + 3 NO_3^- (aq) + 9 H^+ (aq) + 6 e^-$

Elektronit kumoavat toisensa, ja sen lisäksi myös kolme vesimolekyyliä ja 9 vetyionia, jolloin jäljelle jää nettoreaktio:

$Cr_2O_7^{2-} (aq) + 5 H^+ (aq) + 3 HNO_2 (aq) \longrightarrow 2 Cr^{3+} (aq) + 4 H_2O (l) + 3 NO_3^- (aq)$

Teksti on suomennos ja mukaelma tästä esimerkistä.

Kovaa asiaa: hapetus-pelkistysreaktioiden tasapainottaminen (neutraali liuos)

Nämä ovat ykkösvuoden kemian opiskelijoiden suurimmat hankaluudet, ja siksi ajattelinkin ojentaa auttavan käteni ja näyttää, miten homma hoidetaan kotiin. Otetaan esimerkiksi nyt aluksi ihan normaali tasapainotus ilman happoja ja emäksiä sekoittamasta. Sanotaan vaikkapa, että meillä on hapetus-pelkistysreaktio

$Cu^+ (aq) + Fe (s) \longrightarrow Fe^{3+} (aq) + Cu (s)$

joka pitäisi tasapainottaa. Käytetään puolireaktiomenetelmää eli tarkastellaan yksittäisiä reaktioita, ottaen huomioon seuraavat seikat:

– yksiatomisissa molekyyleissä atomien varaus on 0, esim, $N_2$ = 2 · 0 = 0 

– jos yhdisteen tai atomin perässä ei ole yläindeksissä varausta, sen nettovaraus on nolla, esim.
$NaCl$ = $Na^+ + Cl^-$ = +1 + –1 = 0 

– jos yhdisteen tai atomin perässä on yläindeksissä jokin luku, sen nettovaraus on yläindeksin luku, esim.
$SO_4^{2-}$ = $S^{6+} + 4 · O^{2-} $ = +6 + 4 · (–2) = –2

Kirjataan ylös osareaktiot.

Osareaktio 1:

$\stackrel{\text{+1}}{Cu} (aq) \longrightarrow \stackrel{\text{0}}{Cu} (s)$

Kuparin varaus muuttuu +1:stä 0:aan eli se vastaanottaa yhden elektronin (e:n varaus on –1) eli se pelkistyy.

Osareaktio 2:

$\stackrel{\text{0}}{Fe} (s) \longrightarrow \stackrel{\text{+3}}{Fe} (aq)$ 

Varaus muuttuu 0:sta +3:ksi eli rauta luovuttaa kolme elektronia eli hapettuu.

Näiden tietojen nojalla lisäämme osareaktioihin niihin kuuluvat elektronit:

${Cu^+} (aq) + e^- \longrightarrow{Cu} (s)$

${Fe} (s) \longrightarrow {Fe^{3+}} (aq) +  3 e^-$ 

Nyt osareaktioiden elektronit pitää tasapainottaa, joten kerrotaan ensimmäinen reaktio kolmella:

$3 {Cu^+} (aq) + 3 e^- \longrightarrow 3 {Cu} (s)$

${Fe} (s) \longrightarrow {Fe^{3+}} (aq) +  3 e^-$ 

Laitetaan osareaktiot takaisin yhdeksi reaktioksi:

$3 {Cu^+} (aq) + 3 e^- +{Fe} (s)  \longrightarrow 3 {Cu} (s) +{Fe^{3+}} (aq) + 3 e^-$

Elektronit kumoavat toisensa, joten reaktiosta tulee lopulta:

$3 {Cu^+} (aq) +{Fe} (s)  \longrightarrow 3 {Cu} (s) +{Fe^{3+}} (aq)$

Noin. Ei se ole tuon hankalampaa. Seuraavassa osassa käsittelen tasapainotusta happamassa liuoksessa, ja sen jälkeen emäksisessä.

Kovaa asiaa: nukleosidit HIV:tä vastaan

Tänään on kemiallisen biologian tentti, johon tulee kirjoitettavaksi kolme esseetä. Yksi esseeaihe on nukleosidien ja nukleotidien käyttö antiviraaleina eli virusten torjunnassa, mikä on melko kiinnostava aihe.

Nukleosidit ja nukleotidit (eli DNA:n rakennepalikat) ovat tärkeä antiviraalien luokka, sillä jopa 50 % antiviraaleista on juurikin nukleosidien rakenneanalogeja. Ne toimivat niin, että ne jarruttavat ja estävät viruksen perintötekijän kopioitumisen isäntäsolun DNA:han tai RNA:han. HIV:llä virus syöttää oman DNA:nsa integraasientsyymillä tumaan ja valmistaa kopioitaan käänteistranskriptaasilla.

Jotta nukleosidistä tulisi biologisesti aktiivinen nukleotidi, se täytyy fosforyloida trifosfaatiksi, mutta ongelmana on se, että trifosfaattimuoto ei läpäise solukalvoa. Tämän vuoksi nukleosidi pitää kuljettaa solun sisälle ja fosforyloida se vasta siellä. Ensimmäinen fosforylaatio on hitain vaihe ja sitä katalysoi tymidiinikinaasi-niminen entsyymi. Viruksen entsyymi on vähemmän spesifinen kuin isäntäsolun, joten nukleosidijohdos on mahdollista aktivoida vain infektoituneessa solussa.

Antiviraalit toimivat siten, että 

a) pyrimidiinijohdokset (sytosiini, urasiili ja tymiini) liittyvät isäntäsolun DNA:han aiheuttaen solukuoleman

b) puriininukleotidijohdokset inhiboivat DNA-polymeraasia, jolloin seuraava nukleotidi ei kykene liittymään

Näiden avulla ollaan saatu inhiboitua HIV:tä ihmiselimistössä, ja menetelmä tepsii myös hepatiitti C:hen.

Kovaa asiaa: aaltofunktion normalisointi

Kvanttimekaniikassa on nyt tullut vastaan sellaista settiä, että huhhuh. Kokoan ajatuksiani kirjoittamalla tästä blogipostauksen.

Meillä on aaltofunktio

$\Psi=3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3$,

joka pitäisi normalisoida. Normalisoinnin ehtona on

$\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=1$,

missä $\Psi^*$ on aaltofunktion kompleksikonjugaatti ja $\tau$ koko käytettävissä oleva avaruus. Integroitaessa siis koko avaruuden yli pitäisi hiukkanen olla jossain eli integraalin arvo olla 1.

Miksi sitä kompleksikonjugaattia sitten käytetään? No, koska hiukkasen aaltofunktio voi olla kompleksinen (tässä tapauksessa ei, koska funktiossa ei ole kirjainta $i$), jolloin kertomalla funktio sen kompleksikonjugaatilla saadaan tulos reaaliluvuksi. Todennäköisyystiheys annetaan reaaliluvulla, minkä vuoksi on hyvä poistaa kompleksiluku tuolta häiritsemästä.

Esim. jos funktio on muotoa $a+ib$, niin i:n saa pois kertomalla $a-ib$:llä, jossa $-i$ on $+i$:n kompleksikonjugaatti: 

 $(a+ib)(a-ib)=a^2-aib+aib-i^2b^2=a^2+b^2$

(huom. $i^2=-1$)

Kompleksikonjugaatti on kompleksiakselilla kompleksiluvun miinusmerkkinen muoto, ei muuta.

Mutta palataanpa normalisointiin. Totesimme, että aaltofunktion ja sen kompleksikonjugaattifunktion integraalin pitää olla yksi, joten aaltofunktioon pitää hankkia joku kerroin $Z$, joka kertoo sen kertoimet niin, että funktion integraalista todella tulee yksi. Mutta meillä on myös tuo kompleksikonjugaattifunktio siinä integraalilausekkeessa, joten kerroin pitää korottaa neliöön. Kirjoitetaan tästä lauseke:

$Z^2\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=1$

Avataan lauseke:

$Z^2\int_{\tau} (3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3)^*(3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3)d\tau=1$

$\Leftrightarrow Z^2\int_{\tau} (9\phi_1^*\phi_1+3\sqrt{3}\phi_1^*\phi_2-7\phi_1^*\phi_3+3\sqrt{3}\phi_2^*\phi_1+3\phi_2^*\phi_2-$
$2\sqrt{3}\phi_2^*\phi_3-6\phi_3^*\phi_1-2\sqrt{3}\phi_3^*\phi_2+4\phi_3^*\phi_3) d\tau=1$

On olemassa asia nimeltään ortonormaalisuusoletus, jonka nojalla kaikki $\phi_x\phi_y$:t ovat:
0, jos $x \ne y$
1, jos $x = y$

Tämän perusteella voimme kirjoittaa nollaksi kaikki termit, joissa fiin alaindeksit ovat erisuuret ja ykköseksi kaikki, joissa fiin alaindeksit ovat samat:

$\Leftrightarrow Z^2(9\cdot1+0-0+0+3\cdot1-0-0-0+4\cdot1)=1$

$\Leftrightarrow Z^2(16)=1$

$\Leftrightarrow Z=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$

Nyt olemme saaneet normalisointikertoimen. Tämä kerroin laitetaan funktiossa oleviin kertoimiin:

$\Psi=Z\cdot(3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3) \Leftrightarrow \Psi=\frac{1}{4}\cdot(3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3) $

$\Leftrightarrow \Psi={\frac{3}{4}}\phi_1+\frac{\sqrt{3}}{4}\phi_2-\frac{2}{4}\phi_3 \Leftrightarrow \Psi=\frac{3}{4}\phi_1+\frac{\sqrt{3}}{4}\phi_2-\frac{1}{2}\phi_3$

Funktio on nyt normalisoitu, eli integraalista yli käytettävissä olevan avaruuden pitäisi tulla ykkönen. Se voidaan tarkistaa nopeasti kaavalla

$\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=|c_1|^2+|c_2|^2+|c_3|^2$,

jossa $c_n$ on $\phi$:n kerroin. Lasketaan:

$\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=|\frac{3}{4}|^2+|\frac{\sqrt{3}}{4}|^2+|-\frac{1}{2}|^2=1$

Aaltofunktio on täten normalisoitu.

Muokkaus: Viimeisessä kahdessa kaavassa oli pitkään virhe, sillä niissä oli plusmerkkien tilalla kertomerkit. Nyt virhe on korjattu (10.9.2018).

Kovaa asiaa: liukoisuustulon laskeminen standardipotentiaaleista

Analyyttisesta kemiasta on tentti ylihuomenna. Sen kunniaksi kirjoitan, että miten lasketaan yhdisteen liukoisuustulo standardipotentiaaliarvojen avulla. Asensin blogiini myös MathJax-tuen, jolla saan virkattua hienoja yhtälöitä suoraan tekstin sekaan, kun aiemmin tein ne Wordin kaavaeditorilla ja liitin ne tänne kuvina.

--------------------------------

Yhdisteenä olkoon hopeajodidi AgI, jonka liukoisuustulo 25 °C:ssa pitäisi laskea, kun tiedetään seuraavat standardipotentiaalit kyseisessä lämpötilassa:

Puolireaktio (pelkistyminen)	E° (V)
AgI(s) + e- ---> Ag(s) + I-	-0.15
I2(s) + 2e- ---> 2I-	-0.54
Ag+ + e- ---> Ag(s)	0.80

1. Hopeajodidin liukenemisen reaktioyhtälö on seuraava:

AgI(s) ⇌ Ag⁺(aq) + I^-(aq)

Liukoisuustulon kaava reaktiolle on

$K_s=\frac{[Ag^+][I^-]}{[AgI]}$

Ja koska kiinteiden aineiden aktiivisuus on 1, voidaan se poistaa kaavasta:

$K_s=[Ag^+][I^-]$

2. Käytetään laskuihin seuraavia tietoja (aiemman taulukon viimeinen rivi on käännetty toiseen suuntaan, sillä reaktiossa kiinteä hopea jatkaa hapettumistaan hopeaioniksi):

	E° (V)
AgI(s) + e- ---> Ag(s) + I¯	-0.15
Ag(s) ---> Ag+ + e-	-0.80

Yhteensä potentiaalieroksi tulee näiden reaktioiden summa eli -0,95 V.

3. Käytetään Nernstin yhtälöä:

$E_{cell}=E^o-\frac{R\cdot T}{n\cdot F}\cdot ln([Ag^+][I^-])$

$\Leftrightarrow E_{cell}=E^o-\frac{R\cdot T}{n\cdot F}\cdot ln(K_s)$

R = moolinen kaasuvakio, T = lämpötila, n = siirtyvien elektronien määrä (tässä tapauksessa 1) ja F = Faradayn vakio

Kaava voidaan yksinkertaistaa 25 °C:ssa seuraavaksi:

$E_{cell}=E^o-\frac{0,0592}{n}\cdot log(K_s)$

Pyöritellään kaavasta $K_s$:

$E_{cell}=E^o-\frac{0,0592}{n}\cdot log(K_s)$


$\Leftrightarrow E_{cell}-E^o=-\frac{0,0592}{n}\cdot log(K_s)$

$\Leftrightarrow (E_{cell}-E^o)\cdot n={-0,0592}\cdot log(K_s)$

$\Leftrightarrow (E_{cell}-E^o)\cdot n={-0,0592}\cdot log(K_s)$

$\Leftrightarrow \frac{(E_{cell}-E^o)\cdot n}{-0,0592}=log(K_s)$

$\Leftrightarrow K_s=10^{\frac{(E_{cell}-E^o)\cdot n}{-0,0592}}$

Sijoitetaan arvot lausekkeeseen ja lasketaan:

$K_s=10^{\frac{(0-(-0,95))\cdot 1}{-0,0592}}=8,5\cdot 10^{-17}$

--------------------------------

Tekstin pohjana on sivu http://www.chemteam.info/Equilibrium/Calc-Ksp-from-cell-potential-values.html

Kovaa asiaa: kylmä pallo ja lämmin pallo

Fysikaalisen kemian aineopinnot A, 1. demotehtävä:

Kaksi samantilavuista palloa on yhdistetty toisiinsa ohuella putkella (putken tilavuus voidaan jättää huomioimatta, pallot muuten suljettuja). Alussa molemmat pallot ovat samassa lämpötilassa 300 K ja sisältävät yhteensä 0,70 mol ideaalikaasua 1 bar paineessa. Toinen pallo upotetaan lämpöhauteeseen, jonka lämpötila on 400 K ja toinen pidetään edelleen 300 K lämpötilassa. Laske kaasun ainemäärä kummassakin pallossa sekä paine (mekaanisen) tasapainon asetuttua.

Alussa molempien pallojen parametrit ovat:

Sitten palloa B aletaan lämmittämään, jolloin parametrit muuttuvat.

Mekaanisen tasapainon asetuttua paine molemmassa pallossa on sama, mutta ainemäärät eri. Systeemin kokonaisainemäärä on kuitenkin sama kuin alkutilanteessa, joten

Kaavasta pV = nRT saadaan ratkaistua n, joten n = pV/RT. Sijoitetaan yhtälön oikeanpuoleinen osa yllä olevaan ainemäärien yhtälöön, mutta sitä ennen poistetaan vakioksi jäävät V ja R.

Sijoitetaan lukuarvot kaavaan, jolloin saadaan

Lasketaan palloissa olevat ainemäärät.

Pallossa B on täten 0,70 mol – 0,40 mol = 0,30 mol. Tämä käy järkeen, sillä lämpimämmillä molekyyleillä on enemmän liike-energiaa, joten ne aiheuttavat suuremman paineen astian seinämiin. Tässä tapauksessa molemmissa palloissa on kuitenkin sama paine, joten lämpimämmässä pallossa täytyy olla vähemmän molekyylejä, jotta ne aiheuttaisivat saman paineen astian B seinämiin kuin astiassa A olevat molekyylit astiaan A.

Luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut... Mitä ne kaikki ovat?

Nyt puhutaan matematiikasta. Lukion käyneille nämä asiat ovat selviä kuin pläkki, mutta itselläni ei ammattikoulussa nämä tulleet vastaan kertaakaan. Vasta yliopistossa olen oppinut, mitä kukin lukujoukko merkitsee. Opin tänään taas uuden lukujoukon lineaarialgebran demoissa, kun kysyin demojen vetäjältä, että kun reaaliluvut kuuluvat kompleksilukuihin niin onko kompleksilukujoukosta vielä suurempaa joukkoa. Se löytyy viimeisenä alla olevasta listasta.

Luonnolliset luvut 

Symbolin alkuperä: N niin kuin Natural numbers

Mitä sisältää: kokonaisluvut nollasta ylöspäin, eli 0, 1, 2, 3,...∞


Kokonaisluvut 

Symbolin alkuperä: saksan sanasta Zahlen, "numerot"

Mitä sisältää: kaikki kokonaisluvut, eli -∞..., -2, -1, 0, 1, 2, ...∞


Rationaaliluvut ℚ

Symbolin alkuperä: italian sanasta Quozient, "osamäärä"

Mitä sisältää: kaikki luvut, jotka voidaan esittää kahden numeron murtolukuna, esim. 1/2 tai 9/10


Irrationaaliluvut

Mitä sisältää: ne luvut, jotka eivät ole rationaalilukuja, esim. √2 tai π


Reaaliluvut 

Symbolin alkuperä: sanasta Real

Mitä sisältää: kaikki desimaaliluvut, esim. -1, √2, 6006,45528

Kompleksiluvut ℂ

Symbolin alkuperä: sanasta Complex numbers

Mitä sisältää: luvut, joissa esiintyy imaginääriyksikkö i eli √-1

Kvaterniot

Symbolin alkuperä: keksijän nimestä Hamilton (Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865)

Mitä sisältää: reaalilukujen ja kolmiulotteisen vektorin yhdistelmän, joka on muotoa t + xi + yj + zk, jossa t, x, y ja z ovat reaalilukuja ja i, j ja k kvaternioita

Kvaternioita käytetään, tai on käytetty, demojen vetäjän mukaan translaatioihin eli jos halutaan siirtää jokin kappale matemaattisella käsittelyllä uuteen paikkaan avaruudessa. Jänniä juttuja! Tein vielä tällaisen kuvan asiasta.

Kuvasta voidaan sanoa, että luonnolliset luvut kuuluvat kokonaislukuihin, kokonaisluvut rationaalilukuihin jne. Ne ovat siis osajoukkoja isommalle ympyrälle. Matemaattisesti tämä merkitään osajoukko-merkillä ⊂:

 ⊂  ⊂ ℚ ⊂  ⊂ ℂ ⊂ 

Myös irrationaaliluvut ⊂  ⊂ ℂ ⊂ 

Tämänpäiväisissä demoissa merkkasin muuten ensimmäistä kertaa osoitustehtävän (eli pyydetään osoittamaan, todistamaan tai näyttämään jotain) tehdyksi. Nyt vasta, kakkosvuonna, olen päässyt kärryille siitä, miten jokin osoitetaan matemaattisesti. Kyseinen tehtävä oli tosin väärin, joten jääköön osoittamiset minulta vastaisuudessa tekemättä :D

Kovaa asiaa: liukoisuustulo

Liukoisuustulo on loppujen lopuksi melko yksinkertainen asia. Lyhyesti sanottuna se on tasapainotilaa kuvaava luku, josta voidaan päätellä, paljonko kiinteää ainetta liukenee maksimissaan liuottimeen (esim. vesi).

Liukoisuustulon yleinen sääntö on, että jos on reaktio

M_aX_b (s) ⇄ a M^b+ (aq) + b X^a- (aq)

niin sen liukoisuustulo (solubility product) on

K_sp = [M^b+]^a·[X^a-]^b

Hakasulkeet tarkoittavat konsentraatiota. Mutta eikö olekin tarpeeksi hankalan näköistä? :D Otetaan siis esimerkki:

Laske vismuttisulfidin (Bi₂S₃) liukoisuustulon arvo 25 ºC:ssa, kun sen liukoisuus veteen on 1,0 · 10^-15 mol/l.

Muodostetaan reaktioyhtälö:

Bi₂S₃ (s) ⇄ 2 Bi³⁺ (aq) + 3 S^2- (aq)

Stoikiometrisistä kertoimista pystymme näkemään, että kun 1,0 · 10^-15 moolia vismuttisulfidia liukenee täysin yhteen litraan (sen enempää ei liukene, koska liukoisuus veteen on maksimissaan tuon verran), siitä irtoaa kaksinkertainen määrä vismutti-ioneja ja kolminkertainen määrä sulfidi-ioneja, taulukkomuodossa esitettynä näin:

Nyt meillä on vismutti- ja sulfidi-ionien konsentraatio. Tehdään liukoisuustulon lauseke tälle reaktiolle:

K_sp = [Bi³⁺]²·[S^2-]³

Ja sitten vain sijoitetaan konsentraatiot lausekkeeseen ja aletaan laskemaan.

K_sp = (2,0 · 10^-15 mol/l)² · (3,0 · 10^-15 mol/l)³ = 1,08 · 10^-73 mol⁵/l⁵

≈ 1,1 · 10^-73 mol⁵/l⁵ (kaksi merkitsevää numeroa lähtötiedoissa)

Miksei sitten vismuttisulfidin konsentraatiota oteta mukaan liukoisuustulon arvoon? No, koska liukoisuustulolaskuissa kiinteän aineen arvo (”aktiivisuus”) on yksi, joten se voidaan hyvillä mielin jättää pois laskuista.

Ja kuten alussa sanoin, niin liukoisuustulosta voidaan päätellä, paljonko ainetta liukenee liuottimeen. Se tapahtuu vallan yksinkertaisesti: kirjoitamme taas reaktioyhtälön, johon merkkaamme ionien määrän x:llä ja kerromme sen stoikimetrisellä kertoimella. Menemme ikään kuin takaperin yllä kuvattua reittiä. Kiinteän aineen konsentraatio tässä on x, koska se hajoaa 2x:ksi vismutti-ioneja ja 3x:ksi sulfidi-ioneja:

Kirjoitamme sitten jälleen liukoisuustulon kaavan ja sijoitamme x:t sinne (jätän mol/l:t x:stä pois sekaannuttamasta):

K_sp = [Bi³⁺]²·[S^2-]³ eli
1,08 · 10^-73 mol⁵/l⁵ = (2x)²·(3x)³
1,08 · 10^-73 mol⁵/l⁵ = 4x² · 27x³
1,08 · 10^-73 mol⁵/l⁵= 108x<sup>5

Ratkaistaan tästä x:</sup>

1,08 · 10^-73 mol⁵/l⁵ = 108x⁵         || : 108
1,00 · 10^-73 mol⁵/l⁵ = x⁵                 ||( ) ^1/5 eli otetaan 5-kantainen juuri molemmilta puolilta
x = 1,00 · 10^-15 mol/l
x ≈ 1,0 · 10^-15 mol/l

Mitä tulos sitten tarkoittaa? Se kertoo, kuinka monta moolia vismuttisulfidia liukenee veteen niin, että jäljelle ei jää yhtään sakkaa (siksi reaktioyhtälötaulukossa vismuttisulfidin loppukonsentraatioksi on merkattu 0 mol/l). x kertoo siis, että vismuttisulfidia liukenee 1,0 · 10^-15 mol/l, ja koska yhdestä moolista vismuttisulfidia tulee kaksinkertaisesti vismutti-ioneja ja kolminkertaisesti sulfidi-ioneja, niin kylläisessä liuoksessa ionien määrä on:

[Bi³⁺] = 2,0 · 10^-15 mol/l
[S^2-] = 3,0 · 10^-15 mol/l

Kovaa asiaa: matematiikan peruskurssi C:n tentti

Matikan peruskurssi C:n tentti oli tällainen:

Ajattelin käydä ratkaisut vaihe vaiheelta läpi. Eli ensimmäinen tehtävä:

Tehtävä 2:

Tehtävä 3:

Tehtävä 4:

Näin ainakin kuvittelin asioiden menevän tentissä. Jos olen ymmärtänyt kaiken oikein, niin numeroksi kurssista pitäisi tulla vitonen :)

Kovaa asiaa: kuinka paljon jäätä pitää lisätä?

Fysiikan peruskurssi 3:n demotehtävä:

Kalorimetrissä on 250 g 75,0-asteista vettä. Miten paljon -20,0-asteista jäätä pitää lisätä, jotta kalorimetrissä olisi lämpötilan tasaannuttua 30,0-asteista vettä?

Okei, lähdetään liikkeelle laskemalla, paljonko 75,0-asteinen vesi luovuttaa lämpöä kun se alenee 30,0-asteiseksi:

Lasketaan luovutettu joulemäärä:

Tämä määrä menee jään lämmitykseen (Q₂), sen sulatukseen (Q₃) ja jäästä syntyneen veden lämmitykseen (Q₄):

Q₁ = Q₂ + Q₃ + Q₄

Jään lämmityksen energiamäärä lasketaan kaavalla

Jään sulamiseen käytetty energiamäärä, eli nolla-asteiseksi vedeksi muuttuva jää, lasketaan kaavalla

Sitten lasketaan vielä jäästä tulleen veden lämmitykseen käytetty energiamäärä:

Noin. Nyt meillä on kaikki yhtälöt muodossa, jossa vain jään massa on tuntematon. Siis:

Tästä m_j voidaan valita yhteiseksi tekijäksi, jolloin yhtälö muuttuu muotoon

Jaetaan yhtälö puolittain (41 800 J/kg + 333 000 J/kg+ 125 700 J/kg):lla, jolloin saadaan ratkaistua jään massa:

Kovaa asiaa: matriisien yhteenlasku

Matematiikan peruskurssi C:n tehtävä:

On matriisit

Ja kysymys kuuluu: mikä on matriisien summa?

Vastaus on yksinkertainen. Yhteenlasku menee niin, että lasketaan samassa kohdassa olevat alkiot yhteen. Eli näin:

Silleen. Yliopistollakin harjoitellaan pluslaskuja ;)

Tässä on tietysti rajoituksena se, että matriisien täytyy olla täsmälleen samankokoiset. Jos ne ovat eri kokoa, niin matriisien summaa ei ole määritelty.

Kovaa asiaa: koordinaatioyhdisteiden nimeäminen

Kemiassa nimeäminen on tarkkaa puuhaa. Normaalien ioni- ja molekyyliyhdisteiden kanssa asia on melko mutkatonta, mutta kun joukkoon tulee kompleksiyhdisteitä, niin sääntöjä tulee lisää. Mitkä olisivat esim. seuraavien koordinaatioyhdisteiden IUPAC-nimet?

a) [CoCl(NH₃)₅]Cl₂
b) K₃[Fe(CN)₆]
c) [FeCl(NO₂)₂]₂SO₄

Säännöt menevät näin:

1. Kationi tulee kaavoissa ennen anionia.

2. Kompleksi-ionin nimessä ligandit (metalliin liittyneet jutut) tulevat ennen metalli-ionia.

3. Ligandit nimetään aakkosjärjestyksessä.

4. Ligandien lukumäärä esitetään etuliitteillä di-, tri-, tetra-, penta- jne.

5. Voidaan käyttää myös tris-, tetrakis-, pentakis- jne.

6. Etuliite ei vaikuta ligandien nimeämisjärjestykseen.

7. Anioniset -idi-päätteiset ligandit saavat -ido-päätteen (aikaisemmin -o-pääte, esim. CN⁻-ioni oli ennen syano-, mutta nykyään syanido-), muut saavat päätteen -o.

8. Koordinoitunut vesi on akva ja ammoniakki ammiini.

9. Keskusatomin hapetustila esitetään roomalaisella numerolla.

10. Jos kompleksi-ionilla on negatiivinen varaus, lisätään metallin nimeen pääte -aatti (rauta = -ferraatti, kupari = -kupraatti, lyijy = -plumbaatti, hopea = -argentaatti, kulta = -auraatti, tina = -stannaatti jne.).

11. IUPAC:n suositus on, että kaavoissa kirjoitetaan ensin anioniset ligandit ja sen jälkeen neutraalit ligandit, usein kuitenkin kirjoitetaan siinä järjestyksessä missä ne esiintyvät.

12. NO₂⁻-ionin tapauksessa ioni saa joko nimen nitro- tai nitriitto-, riippuen siitä kumpi atomeista on ligandinmuodostaja: jos O, niin nitriitto- ja jos N, niin nitro-. Näin on myös muilla samankaltaisilla yhdisteillä.

Ensimmäinen on penta-ammiinikloridokoboltti(II)kloridi: [CoCl(NH₃)₅]Cl₂. Huomaa, että anionin nimessä (kloridi) ei välttämättä tarvita di-etuliitettä, koska sen määrän pystyy päättelemään kationin varauksesta.

Toinen on kaliumheksasyanidoferraatti(III): K₃[Fe(CN)₆]. Tässä tuo rauta sai nyt ferraatti-muodon, koska kompleksi-ionilla on negatiivinen varaus: kalium on positiivinen ioni, joten kompleksilla on pakko olla negatiivinen varaus. Edellisessä esimerkissä ei ollut, koska kloridi-ioni on negatiivinen.

Kolmas on sitten vähän hankalampi. Se on nimeltään kloridobisnitrorauta(III)sulfaatti: [FeCl(NO₂)₂]₂SO₄. Huomaa taas, että kationien määrää ei ole pakko nimetä, sen pystyy kyllä päättelemään.

Kovaa asiaa: raja-arvojen laskeminen (epämääräinen muoto)

Raja-arvot eli limekset ovat tulleet tutuiksi matikan A- ja B-kursseilla. Yleensä ne pystytään laskemaan ilman ongelmia, mutta joskus eteen saattaa tulla epämääräisiä muotoja kuten "0/0", "∞-∞", "∞+∞" tms.

Tässä näytänkin yhden tempun, mitä voi koittaa:

Huomaatko, mitä tuossa tapahtui? Muoto oli alussa epämääräinen "∞/∞", joten aluksi otin juuren alle yhteiseksi tekijäksi n²:n, sitten siirsin sen juuren alta pois -> tuli n. Sen jälkeen otin nimittäjänkin yhteiseksi tekijäksi n:n, supistin sen pois ja sitten pystyikin sijoittamaan äärettömän n:ksi, jolloin kaikki joiden nimittäjänä oli n, lähestyivät nollaa. Näin helppoa se on. Muitakin temppuja on ja tämä ei tehoa tietystikään kaikkiin, mutta niistä lisää ehkä myöhemmin.

Kovaa asiaa: sitruunahappokierto (näin onnistut muistamisessa)

Kävin eilen illalla hakemassa vanhempani Helsingistä Katajanokan terminaalista ja ajattelin että saisin hieman lukea sillä aikaa kun isä ajaisi auton kotiin Turkuun. Tänään oli nimittäin aineenvaihdunnan tentti, johon en ollut valmistautunut juuri mitenkään.

Mutta kuinka ollaakaan, molemmat vanhempani olivat ottaneet niin paljon että eivät kyllä kyenneet ratin taakse. Sain sitten ajaa kotiin, ja olimme kotona siinä puoli yhdentoista maissa, jolloin olikin jo aika mennä nukkumaan.

Hätä ei kuitenkaan ollut tämän näköinen, koska aineenvaihdunnan tenttiä ennen oli kaksi tuntia luppoaikaa, jolloin voisin iskostaa päähäni mm. sitruunahappokierron. Tässä ajassa pystyy helposti opiskelemaan koko kierron kaikkine entsyymeineen ja välituotteineen.

Aluksi reaktiosarja näyttää käsittämättömän hankalalta, niin kuin kuvasta näkyy:

Ei mitään kovin mukavaa muistettavaa. Oma tapani oli kuitenkin opetella sykli "kerroksittain", eli ensin opetellaan syklin pääasiat eli tuotteiden nimet, sen jälkeen nuo reaktionuolten välissä olevat reaktiot (NAD⁺ -> NADH, H⁺ yms.) jne. Lopulta on todella helppo muistaa rakennekaavatkin, koska ne järkeillään katsomalla vaiheittain, mitä pyruvaattiin tulee lisää ja mitä siitä lähtee pois.

Aloitetaan. Opetellaan kaikki välituotteet. Kuva ei ole enää niin hankala, eikö totta?

Opettele aluksi sinisellä merkityt, sitten vihreällä jne. Minulla ei ole juuri minkäänlaisia muistisääntöjä näihin paitsi että fumaraatin (F) jälkeen tulee malaatti (M): näiden ensimmäisistä kirjaimista tulee FM, filosofian maisteri :) Myös on muistettava, että sukkin*-pari kulkee käsi kädessä.

Suosittelen kirjoittamaan ympyrän ainakin viiteen kertaan paperille, ja lopuksi kannattaa testata että tuleeko nimet sieltä itsekseen. You can do it!

Tämän jälkeen opetellaan, missä kohtaa NAD⁺:t tulevat reaktioon. Huomaa, että nuolen alkupäässä on NAD⁺, ja se pelkistyy NADH:ksi. Lisäksi lähtee yksi H⁺-ioni. NAD⁺ nappaa siis syklin välituotteelta kaksi vetyä.

Kirjoittele taas reaktiota pariin otteeseen paperille, että saat tuntumaa. NAD⁺:t tulevat siis 3., 4. ja 8. välituotteen jälkeen, ja tämän lisäksi myös alkupäässä pyruvaatin jälkeen.

NAD⁺ on muuten oikealta nimeltään nikotiiniamidiadeniinidinukleotidi.

Sitten harjoitellaan seuraavat osiot:

(GDP = guanosiinidifosfaatti, GTP = guanosiinitrifosfaatti, Pi = epäorgaaninen fosfori, ATP = adenosiinitrifosfaatti, ADP = adenosiinidifosfaatti, Q = ubikinoni, QH₂ = ubikinoli)

Huomaa, että Q ottaa kaksi vetyä sukkinaatilta.

Seuraavana opetellaan kohdat, joissa on CoA-SH tai CO₂. Kannattaa muistaa, että aina kun CoA-SH lykätään tuotteeseen, niin sieltä lähtee yksi CO₂ vetämään.

Kirjoittele taas tuota ympyrää pariin otteeseen, että asia jää päähän. Huomaa, että ympyrän vasemmalla puolella ei tapahdu CoA-SH-lisäystä tai CO₂:n poistumista. Välituotteiden nimistäkin voi päätellä, että ennen asetyyli-CoA:aa tarvitaan CoA-SH, ja samoin ennen sukkinyyli-CoA:aa.

Sitten vedet. Vettä lähtee vain kerran (alussa), mutta kolme muuta kertaa sitä lisätään sykliin. Opettele tämä.

Okei, siinä olikin melkein kaikki ainekset, mitä soppaan kuuluu. Vielä pitää nimittäin opetella entsyymit, jotka välituotteita katalysoivat. Suurin osa näistä on melko loogisia nimiltään, joten se helpottaa nimien opettelemista.

Opettele nämä ulkoa ja nyt voit yrittää kirjoittaa koko syklin ulkomuistista :)

Mutta were not done yet! Vielä rakennekaavat! Ei, ei se ole niin vaikeaa kuin voisi kuvitella. Riittää kun osaa piirtää koko syklin ja tietää minkälainen molekyyli on pyruvaatti. Se on tärkein asia koko hommassa.

Pyruvaattimolekyyli.

Eli aluksi pyruvaattiin liitetään CoA-SH -> poistuu hiilidioksidia, sen jälkeen CoA-SH poistetaan ja asetyyliryhmä kiinnittyy oksaloasetaattiin -> syntyy sitraatti. Sitten alkaakin sykli.

Olen merkannut alla olevaan kuvaan punaisella ne kohdat, joissa muutokset tapahtuvat. Tutki kuvaa ja katso, miten välituotteet muodostuvat.

Näin helppoa se on. Kahdessa tunnissa koko homman pystyy muistamaan ulkoa ja sisäistämään, eli siitä vaan :)

Kovaa asiaa: sin(x):n ja cos(x):n välisen suikaleen ala

Sanotaan, että opettaminen opettaa parhaiten sitä, joka opettaa. Siksi ajattelinkin kokeilla erään matematiikan peruskurssi B:n demotehtävän selittämistä. Siinä kysymyksenä oli siis funktioiden sin(x) ja cos(x) väliin ilmestyvän "suikaleen" alan laskeminen määrätyn integraalin laskutoimituksella.

Integrointi on, niin kuin varmaan arvasittekin, erittäin outo asia minulle. Olin joskus kuullut integraali-sanan jossain, mutta en koskaan tiennyt mitä se tarkoittaa. Kun matikan B-peruskurssi alkoi, niin siinä siirryttiinkin jo heti integraalin määritelmiin niin että heikompaa saattoi hirvittää!

Mutta mennään laskuun. Käppyrä on siis tämän näköinen:

Sininen on cos(x) ja punainen sin(x). Tuosta pitäisi laskea ala, joka on merkitty vihreällä. Liikkeelle lähdetään niin, että ensin ratkaistaan pisteet, joissa funktiot leikkaavat toisensa. Tässä tarkasteltavaksi suikaleeksi voisi ottaa minkä tahansa suikaleen tuosta äärettömästä jatkumosta, mutta yksinkertaisuuden vuoksi kannattaa valita tuo y-akselia lähin.

Leikkauspiste määritellään siten, että molemmat funktiot ovat samanarvoiset jossain pisteessä, kirjoitetaan siis yhtälö 

.

Tämän jälkeen jaetaan yhtälö cos(x):llä, jolloin saadaan

Sin(x) jaettuna cos(x):llä on yhtä kuin tan(x), joten kaava voidaan kirjoittaa muotoon:

Nyt tarvitsemme hieman trigonometriaa. Ajatellaanpa ja mietitään, että mikä pitää tangentin kulman arvo olla, että se saa arvon 1? Kun saamme tietää tuon maagisen kulman, saamme myös x:n arvon.

Kulmahan on 45°. x on siis ratkaistu, se on 45. Tämä on ensimmäinen leikkauspisteemme, mutta se pitää vielä muuntaa asteista radiaaneiksi. Muunto on helppo laskeakin, mutta kannattaa ajatella sitä niin, että 180° = π, joten 90° = π/2, joten 45° = π/4. Leikkauspiste 1 on siis π/4, ja ensimmäinen kuvakin sen todistaa.

Toinen leikkauspiste saadaan, kun katsotaan tangentin määritelmää. Kolmiosta

kulma α saadaan kaavasta

.

Se siis tarkoittaa sitä, että sekä x että y voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia. Nyt otetaan avuksi neljään lohkoon leikattu yksikköympyrä:

Siitä pystyy suoraan näkemään, että kun x ja y ovat molemmat positiivisia ja kulma on 45° (= π/4), niin myös kun x ja y ovat molemmat negatiivisia, saa kulma arvon 45°. Tällöin yksikköympyrässä oleva kulma on 45° + 180° = 225°. Tämä on yhtä paljon kuin 5π/4. Siinä onkin toinen leikkauspisteemme.

Saimme nyt määrätyn integraalin rajat, joista alamme integroida. Kahden funktion välisen alan pisteestä a pisteeseen b saa näin kätevällä konstilla:

Tuossa f(x) on funktio, joka on "korkeammalla", ts. suurempi, tässä tapauksessa siis sin(x). Kun sijoitetaan saamamme luvut integraaliin

, 

niin lasku onkin erittäin nopea, helppo ja mekaaninen toimenpide:

Vastaus on siis 2√2. Voilà!