Kovaa asiaa: aaltofunktion normalisointi

Kvanttimekaniikassa on nyt tullut vastaan sellaista settiä, että huhhuh. Kokoan ajatuksiani kirjoittamalla tästä blogipostauksen.

Meillä on aaltofunktio

$\Psi=3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3$,

joka pitäisi normalisoida. Normalisoinnin ehtona on

$\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=1$,

missä $\Psi^*$ on aaltofunktion kompleksikonjugaatti ja $\tau$ koko käytettävissä oleva avaruus. Integroitaessa siis koko avaruuden yli pitäisi hiukkanen olla jossain eli integraalin arvo olla 1.

Miksi sitä kompleksikonjugaattia sitten käytetään? No, koska hiukkasen aaltofunktio voi olla kompleksinen (tässä tapauksessa ei, koska funktiossa ei ole kirjainta $i$), jolloin kertomalla funktio sen kompleksikonjugaatilla saadaan tulos reaaliluvuksi. Todennäköisyystiheys annetaan reaaliluvulla, minkä vuoksi on hyvä poistaa kompleksiluku tuolta häiritsemästä.

Esim. jos funktio on muotoa $a+ib$, niin i:n saa pois kertomalla $a-ib$:llä, jossa $-i$ on $+i$:n kompleksikonjugaatti: 

 $(a+ib)(a-ib)=a^2-aib+aib-i^2b^2=a^2+b^2$

(huom. $i^2=-1$)

Kompleksikonjugaatti on kompleksiakselilla kompleksiluvun miinusmerkkinen muoto, ei muuta.

Mutta palataanpa normalisointiin. Totesimme, että aaltofunktion ja sen kompleksikonjugaattifunktion integraalin pitää olla yksi, joten aaltofunktioon pitää hankkia joku kerroin $Z$, joka kertoo sen kertoimet niin, että funktion integraalista todella tulee yksi. Mutta meillä on myös tuo kompleksikonjugaattifunktio siinä integraalilausekkeessa, joten kerroin pitää korottaa neliöön. Kirjoitetaan tästä lauseke:

$Z^2\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=1$

Avataan lauseke:

$Z^2\int_{\tau} (3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3)^*(3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3)d\tau=1$

$\Leftrightarrow Z^2\int_{\tau} (9\phi_1^*\phi_1+3\sqrt{3}\phi_1^*\phi_2-7\phi_1^*\phi_3+3\sqrt{3}\phi_2^*\phi_1+3\phi_2^*\phi_2-$
$2\sqrt{3}\phi_2^*\phi_3-6\phi_3^*\phi_1-2\sqrt{3}\phi_3^*\phi_2+4\phi_3^*\phi_3) d\tau=1$

On olemassa asia nimeltään ortonormaalisuusoletus, jonka nojalla kaikki $\phi_x\phi_y$:t ovat:
0, jos $x \ne y$
1, jos $x = y$

Tämän perusteella voimme kirjoittaa nollaksi kaikki termit, joissa fiin alaindeksit ovat erisuuret ja ykköseksi kaikki, joissa fiin alaindeksit ovat samat:

$\Leftrightarrow Z^2(9\cdot1+0-0+0+3\cdot1-0-0-0+4\cdot1)=1$

$\Leftrightarrow Z^2(16)=1$

$\Leftrightarrow Z=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$

Nyt olemme saaneet normalisointikertoimen. Tämä kerroin laitetaan funktiossa oleviin kertoimiin:

$\Psi=Z\cdot(3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3) \Leftrightarrow \Psi=\frac{1}{4}\cdot(3\phi_1+\sqrt{3}\phi_2-2\phi_3) $

$\Leftrightarrow \Psi={\frac{3}{4}}\phi_1+\frac{\sqrt{3}}{4}\phi_2-\frac{2}{4}\phi_3 \Leftrightarrow \Psi=\frac{3}{4}\phi_1+\frac{\sqrt{3}}{4}\phi_2-\frac{1}{2}\phi_3$

Funktio on nyt normalisoitu, eli integraalista yli käytettävissä olevan avaruuden pitäisi tulla ykkönen. Se voidaan tarkistaa nopeasti kaavalla

$\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=|c_1|^2+|c_2|^2+|c_3|^2$,

jossa $c_n$ on $\phi$:n kerroin. Lasketaan:

$\int_{\tau} \Psi^*\Psi d\tau=|\frac{3}{4}|^2+|\frac{\sqrt{3}}{4}|^2+|-\frac{1}{2}|^2=1$

Aaltofunktio on täten normalisoitu.

Muokkaus: Viimeisessä kahdessa kaavassa oli pitkään virhe, sillä niissä oli plusmerkkien tilalla kertomerkit. Nyt virhe on korjattu (10.9.2018).